serialize() は、 PHP で保存できるあらゆる値をバイトストリームで表した文字列を返します。 unserialize() を使うと、 この文字列から元の変数の値を取り出すことができます。 オブジェクトをシリアライズすると、オブジェクト内の変数もすべて保存されます。 オブジェクト内のメソッドは保存されません。 クラス名のみが保存されます。
オブジェクトを unserialize() するには、 そのオブジェクトのクラスが定義されている必要があります。 A クラスのオブジェクトをシリアライズしたのなら、 その文字列にはクラス A とその中のすべての変数の値が含まれています。 別のファイルでそれを復元してクラス A のオブジェクトを取り出すには、 まずそのファイル内にクラス A の定義が存在しなければなりません。 これを実現するには、たとえばクラス A の定義を別ファイルに書き出してそれを include したり spl_autoload_register() 関数を使ったりします。
<?php
// classa.inc:
  
  class A {
      public $one = 1;
    
      public function show_one() {
          echo $this->one;
      }
  }
  
// page1.php:
  include("classa.inc");
  
  $a = new A;
  $s = serialize($a);
  // $s を、page2.php からみつけられるどこかに書き出します
  file_put_contents('store', $s);
// page2.php:
  
  // シリアライズした文字列を復元するには、これが必要です
  include("classa.inc");
  $s = file_get_contents('store');
  $a = unserialize($s);
  // これで、$a オブジェクトの show_one() が使えるようになりました
  $a->show_one();
?>
セッションを使っているアプリケーションで session_register() を使ってオブジェクトを登録した場合は、 PHP のページの終了時にオブジェクトが自動的にシリアライズされます。 そして、次のページが始まるときに自動的にそれが復元されるのです。 これによって、いちどセッションに登録したオブジェクトは アプリケーションのどのページでも使えるようになります。 しかし session_register() 関数は非推奨です。 この非推奨の機能は、きっと 将来 削除 されるでしょう。
アプリケーション内でオブジェクトをシリアライズして再利用する場合のお勧めは、 そのクラスの定義をアプリケーション全体で include することです。 クラスの定義が存在しなければオブジェクトの復元に失敗してしまいます。 その場合、PHP は __PHP_Incomplete_Class_Name クラスのオブジェクトを返します。このオブジェクトにはメソッドは一切なく、 使い道がなくなってしまいます。
つまり、もし上の例の $a を session_register("a") でセッションに格納するなら、 page1.php と page2.php だけではなく すべてのページで classa.inc を include しなければなりません。